Testing

定义：导数 (Derivative)

函数 \(f(x)\) 在点 \(x=a\) 处的导数定义为：

\[f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\]

定理：微积分基本定理 (FTC)

如果 \(f\) 在 \([a, b]\) 上连续，且 \(F\) 是 \(f\) 的任一原函数，则：

\[\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\]

注意

在求解不定积分时，不要忘记加上积分常数 \(C\)。

Key Term: Geometric Series (等比级数)

一个每一项与前一项之比为常数 \(r\) 的级数。

Definition: Convergence of Geometric Series

对于几何级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} ar^n\)：

1. 若 \(|r| < 1\)，级数收敛，且和为 \(S = \frac{a}{1-r}\)。

2. 若 \(|r| \ge 1\)，级数发散。

Extension: Zeno's Paradox (芝诺悖论)

几何级数收敛的概念解释了为什么阿基里斯能追上乌龟——无穷多个时间的微小间隔之和可以是有限的。